The cardiovascular system: a numerical study

The aim of this thesis concerns the mathematical and numerical study of the cardiovascular system. This work covers the three related main brances of study, dealing with artery modeling, valves modeling and heart modeling. The work is thus subdivided into three parts, each one dealing with a specific branch. In each part this work starts by a specific known in licterature problem and suggests original improvements aimed at obtaining a more accurate solution and/or a cheaper computational cost. In the first part a new one dimensional model for the compliant vessels is proposed, capable of reproducing also the effects related to the fluid-structure interaction which are loosed by the classical models present in licterature. In particular it is show that with a cheaper modification it is possible to reproduce also in a one dimensional model the so called added mass effect, an effect related to the multidimensionality of the flow field as concerns the flows into compliant pipes. In the same parts an analytical solution for the unsteady motion in an undefined rigid pipe is proposed, taking into account of the transitory effects. As far as the pulsating flow is concerned, the reference solution classically adopted in literature is represented by the Womersley one. Even though accourate, this latter allows the only study of the motion when the flow is fully developed; conversely it is not capable of reproducing what happens, for example, immediately after a sudden pressure drop. In this work a new solution capable of reproducing also the motion when not fully developed is proposed. As far as applications is concerned, two particular cases are studied: the starting of an extracorporeal device (fluid initially at rest) and a double variation of pressure (non-homogeneus initial conditions), consisting of a sudden drop followed by a sudden raise (i. e., this is what happens during a fainting). In the second part a stability estimate concerning the immersed finite elements method is reported. Up to now, in literautre the structural description is performed through linear piecewise continuous polinomial; in this work a new estimation is performed for a structural description performed by piecewise continuous polinomial of an arbitrary order, clearly comprehensive of the linear case. Moreover, for the implicit case only, it is demonstrated that a stability limit from below exists for the time step size; even though not determinable. Numerical examples will enforce the results obtained. A comparison between the ALE and the IFEM schemes is also performed for the simulation of an immersed structure. The results show that whenever the ALE computational cost increases proportionally to the structure displacement (as a consequence of the fluid mesh distorsion), the IFEM formulation does not depend on structure displacement. The third part deals with the heart electro-mechanical coupling. The heart electrical activity is typically reproduced through the data obtained by the electro-cardiogram, a non-invasive medical device furnishing the graphical representation in time of the extracellular potential differences between different body locations. Up to now the study of the heart activity was performed by treating independently the electrophysiology and the mechanics, i.e. without considering a feedback between them. In this work the solution is determined by considering the electro-mechanical feedback, arising a non-linear fully coupled problem, being both solutions (electro physiology and mechanics) depending on each other. As a results a changing in the heart conductivity is present, affecting the electro-cardiogram graph in some terminations. Moreover different distributions between the problem solved with feedback and the one solved without for both the trans-membrane and the extracellular potentials are present.

Lo scopo di questa tesi riguarda lo studio di matematico e numerico del sistema cardiovascolare. Questo lavoro comprende i tre rami principali correlati allo studio del sistema cardiovascolare, riguardanti la modellazione delle arterie, la modellazione valvole cardiache e la modellazione dell'elettromeccanica cardiaca. Il lavoro è suddiviso in tre parti, ognuna delle quali tratta un ramo specifico. In ogni parte questo lavoro il punto di partenza è rappresentato da un problema specifico e noto in letteratura; vengono quindi suggerite soluzioni originali finalizzate ad ottenere una soluzione più accurata e / o con un costo computazionale più conveniente. Nella prima parte viene proposto un nuovo modello monodimensionale per le arterie, in grado di riprodurre anche gli effetti legati all'interazione fluido-struttura, non presenti nei modelli classici presenti in letteratura. In particolare, si dimostra che con una modifica molto economica in termini computazionali è possibile riprodurre anche in un modello unidimensionale il cosiddetto effetto massa aggiunta, un effetto legato alla multidimensionalità del campo di moto quando si ha a che fare con condotti deformabili. Viene inoltre proposta una soluzione analitica per il moto a transitorio del flusso in un condotto rigido di lunghezza indefinita. Per quanto riguarda i flussi a regime periodico, la soluzione classica di riferimento adottata in letteratura è rappresentata dal flusso alla Womersley. Anche se precisa, quest'ultima consente solamente lo studio del moto quando il flusso è completamente sviluppato; al contrario, non è in grado di riprodurre ciò che accade, per esempio, subito dopo una variazione improvvisa di pressione. In questa tesi viene proposta una soluzione in grado di riprodurre anche il moto quando non è pienamente sviluppato. Dal punto di vista applicativo vengono studiati due casi particolari: l'avvio di un dispositivo di circolazione extra-corporea (fluido inizialmente a riposo) e una doppia variazione di pressione (condizioni iniziali non omogenee), costituita da un calo improvviso di pressione seguito da un ristabilirsi della pressione iniziale, come accade nei casi di svenimento. Nella seconda parte si determina una stima della stabilità relativamente al metodo degli elementi finiti immersi. Fino ad oggi, in letteratura la descrizione strutturale viene eseguita tramite polinomi continui lineari a tratti; in questo lavoro una nuova stima viene effettuata quando la struttura sia descritta da polinomi continui a tratti di ordine arbitrario, stima che chiaramente comprende come caso particolare quello dei polinomi lineari. Inoltre per il solo caso implicito, si dimostra che esiste anche un limite inferiore, anche se non determinabile esplicitamente, per l'incremento temporale, per avere stabilità dello schema numerico. Degli esempi numerici mostrano l'attendibilità dei risultati ottenuti. Si presenta inoltre un confronto fra i metodi ALE e IFEM per il caso della simulazione di una struttura immersa, come potrebbe essere una valvola cardiaca. I risultati hanno evidenziato che lo schema ALE presenta un costo di calcolo (in termini di sotto-iterazioni necessarie per arrivare a convergenza) proporzionale allo spostamento della struttura (come conseguenza della distorsione della griglia su cui viene risolto il moto del fluido), mentre la formulazione IFEM ne rimane indipendente. La terza parte si occupa dell'accoppiamento elettromeccanico dell'attività cardiaca. L'attività elettrica cardiaca viene in genere analizzata attraverso i dati ottenuti dalla elettro-cardiogramma, un dispositivo medico non invasivo capace di rappresentare graficamente l'andamento nel tempo delle differenze di potenziale extracellulare sussistente tra differenti posizioni del corpo. Fino ad oggi lo studio della attività cardiaca è stato effettuato trattando in maniera indipendente l'elettro-fisiologia e la meccanica, cioè senza considerare l'esistenza di un feedback tra di loro. In questo lavoro la soluzione viene determinata considerando il feedback elettro-meccanico, attraverso la soluzione di un problema non lineare completamente accoppiato, essendo entrambe le soluzioni (elettro fisiologia e meccanica) reciprocamente dipendenti. A causa del cambiamento del tensore conduttività, dovuto alla deformazione cardiaca, in alcune terminazioni dell'elettro-cardiogramma si riscontrano risultati differenti dal caso in cui si supponga il cuore fisso nello spazio. Inoltre, si sono riscontrate distribuzioni differenti tra il problema risolto con feedback e quello risolto senza feedback, sia per quanto concerne il potenziale trans-membranale, sia per quanto concerne il potenziale extracellulare.