Dinamica asintotica e sincronizzazione di sistemi dissipativi di pendoli accoppiati

In this thesis we investigate the dynamics of systems of coupled pendula and, in particular, we discuss the emergence of synchronization patterns in the asymptotic dynamics of these systems when suitable dissipative contributions are included in the model. The core of the thesis is the spectral study of the linearisation of a system formed by a viscoelastic string, fixed at its ends, with n pendula hanging equally spaced from it. This is a `hybrid' mechanical system with dissipation, and a motivation for it comes from the famous Huygens synchronization phenomenon. The novelty of our approach is that the coupling between the pendula is realised via a continuous string, and hence an infinite-dimensional mechanical system. Moreover, the string is supposed to be viscoelastic, and therefore inherently introduces dissipation. We describe the coupled system starting from a Lagrangian formulation and we adopt the classical Kelvin-Voigt damping model for the viscoelasticity of the string. The equations of motion that we obtain for our system are a set of coupled ODEs and PDEs. Even though the Kelvin-Voigt viscoelastic string is a linear system, the pendula are not and the coupled system is nonlinear. The equilibrium state in which the string is at rest and the pendula hang downward is an attracting equilibrium, and we study the spectrum of the linearisation of the system at that equilibrium. The linearised system decouples into a ``vertical'' system, which describes the vertical motion of the string with the pendula replaced by point masses, and a ``horizontal'' system, which describes the horizontal motion of the string and the linearised pendula. We determine a closed form for the eigenvalue equation for both the vertical and horizontal systems for any number of pendula. These expressions involve Chebyshev polynomials of the second kind. We also provide closed expressions for the eigenfunctions. We hence detail the study of the spectrum, without and with dissipation. This is done to a large extent analytically, but partly also resolving to a numerical investigation. Next, we study the long-term dynamics of the system. Due to the frequency-dependent damping of the Kelvin-Voigt model, in the case of weak dissipation, the long-term dynamics is dominated by the damped normal modes that dissipate less. Hence, after a transient, motions of the system will tend to motions that are either periodic or quasi-periodic, even though with slowly decreasing amplitudes; particularly when n is small, these motions may appear as `synchronised'. On these bases, a careful numerical study enables us to determine the regions in the parameter space in which, when n=2, either the pendula synchronise in phase or in opposition of phase or where beats are present. In the conclusive part of the work, we advance a first attempt to extend the analysis beyond the linear level. We restrict the study to a finite-dimensional setting, and we investigate invariant structures in the phase space of holonomically constrained mechanical systems with dissipation and no forcing. In particular, we consider the case of velocity-proportional friction forces and we assume that the dissipation vanishes not only at zero velocity but also on a certain larger subset of the phase space. We initiate the analysis of such a situation, in the nonlinear setting, via the LaSalle invariance principle.

In questa tesi studiamo la dinamica di sistemi di pendoli accoppiati e, in particolare, la comparsa di comportamenti di sincronizzazione nella dinamica asintotica di tali sistemi qualora si includano nel modello termini dissipativi. La parte principale della tesi riguarda lo studio spettrale della linearizzazione di un sistema meccanico composto da una corda viscoelastica, fissata alle estremità, e da n pendoli identici, appesi ad essa a distanza regolare. Tale sistema è dissipativo e ``ibrido'', avendo una componente continua ed una discreta, e il suo studio trae ispirazione dal classico problema di sincronizzazione dei pendoli di Huygens. Una novità dell'approccio che proponiamo sta nel modellizzare l'accoppiamento tra i pendoli con una struttura continua, che è pertanto infinito-dimensionale. Questa caratteristica, inoltre, permette di includere la dissipazione in modo naturale, adottando un modello di corda viscoelastica. Il sistema verrà descritto partendo da una formulazione Lagrangiana e adotteremo il modello di Kelvin-Voigt per la viscoelasticità della corda, ottenendo così un sistema di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. La presenza di termini di pendolo rende tali equazioni non-lineari. Procederemo quindi col linearizzarle attorno alla configurazione di equilibrio stabile, nella quale la corda è a riposo e i pendoli sono appesi verso il basso, e ne studieremo lo spettro. Nel linearizzarlo, il sistema si disaccoppia in una componente ``verticale'', che descrive il moto di una corda con delle masse puntiformi in luogo dei pendoli, e una ``orizzontale'', che descrive il moto della corda in un piano orizzontale con i pendoli linearizzati. Otterremo delle espressioni esplicite per le equazioni caratteristiche dei due sistemi e per le corrispondenti autofunzioni, in termini di polinomi di Chebyshev del secondo tipo, per un numero arbitrario di pendoli. Analizzeremo quindi gli spettri dei due sistemi, per la gran parte analiticamente, nel caso conservativo e in quello dissipativo. Infine studieremo la dinamica asintotica del sistema. Questa è fortemente influenzata dall'aver adottato un modello di attrito che porta ad un tasso di smorzamento dipendente dalla frequenza, e pertanto essa è dominata nei tempi lunghi da un piccolo numero di modi normali smorzati poco dissipativi. Dopo un transiente iniziale, cioè, i moti del sistema tenderanno a dei moti che sono periodici o quasi-periodici, con delle ampiezze di oscillazione lentamente decrescenti. Uno studio numerico nel caso di n=2 ci permetterà di determinare le regioni nello spazio dei parametri nelle quali i pendoli si sincronizzano asintoticamente in fase, in quali in contro fase, e dove invece si osservano battimenti. Nella parte conclusiva del lavoro, ci interessiamo al regime non-lineare. Considereremo sistemi finito-dimensionali e inizieremo uno studio delle strutture invarianti nello spazio delle fasi di sistemi dissipativi senza forzante. Specificamente, approfondiremo la trattazione del caso di sistemi meccanici olonomi in presenza di forze dissipative proporzionali alla velocità del sistema. Presenteremo un tentativo preliminare per la descrizione di tali sistemi nel caso in cui la dissipazione si annulli in un insieme più grande dei soli equilibri, applicando il classico principio di invarianza di LaSalle.