Co-Homology and Intersection Theory for Feynman Integrals

Feynman Integrals play a pivotal role in the computation of multi-loop Scattering Amplitudes, and so they are of vital importance for our capabilities of making predictions. Recent advances from multiple experimental sides of fundamental Physics, range from the detection of colliding point-like particles at the Large Hadron Collider to the observation of gravitational waves associated to black holes merging. They challenge us to understand and control better than ever the intimate nature of those integrals. A key step in the study of Feynman Integrals consists in realizing that their otherwise insurmountable complexity can be significantly mitigated exploiting suitable Integration by Parts identities. Thanks to these it is possible to build a huge set of linear relations among those integrals and exploit them, through extensive linear algebra manipulations, in order to identify a set of independent building blocks, known as Master Integrals. Master Integrals can be thought of as a basis in the full space of integrals which can appear in the calculation. Equally importantly, Integration by Parts identities allow deriving differential equations for Master Integrals. Differential equations constitute another fundamental tool, since solving them analytically, or numerically, it is possible to determine the expressions and eventually numerical values for the basis of integrals, and thereby for the full family of Feynman Integrals, under consideration. In this thesis we show how the powerful approach of differential equations, in particular the so called canonical form, can be used in order to evaluate Feynman Integrals arising in some models relevant for Dark Matter detection. The corresponding Master Integrals, involving different masses in internal and external states, are expressed in terms of Generalized Polylogarithms. Moreover, in this work we discuss the role of a mathematical framework-(probably) not so common to theoretical physicists-known as twisted (Co)Homology or, more colloquially, Intersection Theory. It has recently emerged that this framework offers a new view and a new perspective towards Feynman Integrals, elucidating some of their properties along with offering new computational tools. Notably, within this theory, it is possible to build the so called co-homology intersection number, which acts as a scalar product among Feynman Integrals. Loosely speaking, following a by now well established Amplitude tradition, several important aspects emerge once we embed our construction into the complex plane, and exploit its richness. Intersection numbers turn to be built upon basic ingredients, such as Residues and Stokes' theorem. Thanks to these new techniques the decomposition in terms of Master Integrals can be obtained by means of a-conceptually clear-projection formula.

Gli integrali di Feynman hanno un ruolo centrale nel calcolo delle Ampiezze di Scattering a molti loop, quindi sono oggetti di vitale importanza per la nostra capacit\`a di fare previsioni. I recenti sviluppi dal lato sperimentale, che coinvolgono avanzamenti che vanno dalla rivelazioni di urti di particelle puntiformi al Large Hadron Collider fino all'osservazione di onde gravitazionali prodotte a seguito della fusione di buchi neri, ci spingono a investigare e capire la natura pi\`u profonda di questi integrali meglio di qunato fatto fino ad ora. Un punto cruciale nello studio degli integrali di Feynamn consiste nel realizzare che la loro complessita\`a, altrimenti insormontabile, pu\`o essere smussata grazie ad opportune relazioni note come Integration by Parts. Infatti, grazie a queste, \`e possibile costruire un sistema di equazioni lineari, che pu\`o essere manipolato-o, in un certo senso, risolto, grazie a dispendiose manipolazioni algebriche-fino ad identificare degli ingredienti fondamentali noti come Master Integrals. I Master Integrals possono essere pensati come una sorta di base nello spazio di tutti gli integrali che possono essere coinvolti nel calcolo. Altres\`i, le Integration by Parts consentono di derivare opportune equazioni differenziali per i Master Integrals. Le equazioni differenziali costituiscono un altro strumento di fondamentale importanza; infatti, risolvendole, analiticamente o numericamente, \`e possibile determinate l'espressione, e da ultimo i valori numerici, per la base di integrali, e quindi per ogni possibile integrale all'interno della famiglia in considerazione. In questa tesi si mostra come l'approcio basato sulle equazioni differenziali, e in particolare la cosiddetta canonical form, pu\`o essere adottato per la valutazione di integrali di Feynman che compaiono in certi modelli rilevanti per l'osservazione della Dark Matter. I corrispondenti Master Integrals, che coinvolgono stati intermedi ed esterni massivi, sono espressi in termini di Generalized Polylogarithms. Inoltre si discute il ruolo di una nuova teoria matematica-probabilmente non cos\`i comune ai fisici teorici-nota come twisted (Co)Homology, o, in gergo, Intersection Theory. Recentemente \`e emerso che questa teoria offre una nuova visione e prospettiva sugli integrali di Feynman, facendo chiarazza su alcuni loro aspetti e offrendo nuovi strumenti computazionali. In particolare \`e possibile costruire il cosiddetto co-homology intersection number, che agisce come una sorta di prodotto scalare per gli integrali di Feynman. Approssimativamente, seguendo una tendenza ormai stabilita nello studio delle Ampiezze di Scattering, molti aspetti emergono in modo naturale estendendo lo studio al piano complesso, sfruttandone le sue peculiarit\`a. Gli intersection numbers sono costruiti a partire da semplici ingredienti fondamentali, quali il calcolo dei Residui e il teorema di Stokes. Grazie a queste nuove tecniche la decomposizione in termini di Master Integrals tramite una, concettualmente chiara, formula di proiezione.