Close approaches and the border of stable secular motions in the Restricted 3-Body Problem

The central goal of the present thesis consists in proposing a novel threshold, in the context of the restricted three-body problem, capable to discriminate between the regime of motion governed by the classic secular theory and the rest of regimes, which are mainly influenced either by close encounters or by resonant interactions of the test particle (e.g. asteroid) with the primary perturber (e.g. Jupiter). This goal is reached operating on the following fronts: i) We explore at the beginning the possibility to take into account suitable regularization methods in the vicinity of the gravitational singularities: we introduce a Hamiltonian extension of the Kustaanheimo-Stiefel regularization to the elliptic restricted N-body problem by means of a symplectic reduction of the extended phase space. After a short review of the state of the art on regularization techniques, we develop the theory for N=3 and test it numerically. In particular, we provide an implementation of the theory in the propagation of the orbits having close encounters with the primary perturber. This is shown to usefully improve the performance of numerical integrations when needed, regardless the complexity of the three-body model considered (planar/spatial, circular/elliptic). ii) We pass to the machinery of Hamiltonian canonical perturbation theory and present a closed-form approach (i.e. without expanding in powers of the eccentricities) without use of relegation for particles with non-crossing trajectories exterior to the primary perturber's trajectory, including those highly eccentric. iii) At this point, we address the question of identifying and topologically characterizing the long-term (secular) stability regions in appropriate sections of the phase space via different numerical stability maps. We discuss, then, the applicability of the above closed-form method as a criterion for estimating the boundary of such domains for orbits further than Jupiter's when the planet is assumed on a circular orbit and compare the result to other existent heuristic criteria. iv) As a side result from the above analysis, the aforementioned stability maps reveal a much richer orbital architecture consisting in an ''ornamental structure'' of manifolds generated by the planet connected in a series of arches that spread throughout the whole Solar System. We then investigate the implications of these structures for small body dynamics. As a pivotal case, we consider the well-known open problem of the observed asymmetry in the number and phase-space distribution of Trojan asteroids around Jupiter’s equilateral equilibrium points L4 and L5 in our solar system. We discuss possible links of this problem to a detected asymmetry in the heteroclinic intersections between the unstable and stable manifolds of the Lyapunov orbits around the Lagrangian points L1, L2 and L3. We show how these intersections influence the inflow of particles to the Trojan region, and propose a plausible trapping mechanism of the bodies under an approximately adiabatic process of planetary migration.

Lo scopo principale della presente tesi consiste nel proporre, nell'ambito del problema dei tre corpi ristretto, una nuova definizione del limite che discrimina tra il regime di moto governato dalla teoria secolare classica e gli altri tipi di regime, in cui questi ultimi risultano essenzialmente influenzati o dalla presenza di incontri ravvicinati o da interazioni risonanti della particella di massa trascurabile (p.e. un asteroide) con il perturbatore primario (p.e. Giove). Tale obiettivo viene raggiunto operando sui seguenti fronti: i) Esploriamo all'inizio la possibilità di tenere conto di opportuni metodi di regolarizzazione in prossimità delle singolarità gravitazionali: si introduce così un'estensione hamiltoniana della regolarizzazione di Kustaanheimo-Stiefel al problema ellittico ristretto degli N corpi mediante una riduzione simplettica dello spazio delle fasi esteso. Dopo una breve rassegna dello stato dell'arte sulle tecniche di regolarizzazione, la teoria viene sviluppata per N=3 e testata numericamente. In particolare forniamo un'implementazione della teoria nella propagazione di orbite aventi incontri ravvicinati con il perturbatore primario. Tale implementazione si dimostra migliorativa in termini di accuratezza delle prestazioni numeriche durante l'integrazione laddove necessario, indipendentemente dalla complessità del modello a tre corpi considerato (piano/spaziale, circolare/ellittico). ii) Passiamo ora al contesto della teoria perturbativa canonica hamiltoniana e presentiamo un approccio in forma chiusa (cioè senza espandere nelle potenze delle eccentricità) senza l'uso dell'algoritmo di ''relegation'' per particelle con traiettorie non intersecanti esterne alla traiettoria del perturbatore primario, comprese quelle altamente eccentriche. iii) A questo punto ci si prefigge di identificare e caratterizzare topologicamente le regioni di stabilità a lungo termine (secolari) in sezioni appropriate dello spazio delle fasi tramite diverse mappe di stabilità numerica. Discutiamo l'applicabilità del metodo come criterio per stimare la frontiera dei suddetti domini per orbite lontane da quella di Giove quando il pianeta è assunto in orbita circolare e confrontiamo il risultato con altri criteri euristici esistenti. iv) In qualità di risultato complementare, le suddette mappe di stabilità rivelano un'architettura orbitale assai più ricca costituita da una "struttura ornamentale" di varietà generate dal pianeta e collegate in una serie di archi che si estendono per l'intero Sistema Solare. Indaghiamo così le implicazioni di queste strutture riguardo alla dinamica dei corpi minori. Come caso di riferimento consideriamo il noto problema aperto nel nostro sistema solare relativo all'asimmetria osservata nel numero e nella distribuzione nello spazio delle fasi degli asteroidi troiani attorno ai punti di equilibrio equilateri di Giove L4 ed L5. Si discutono i possibili collegamenti di questo fenomeno con un'asimmetria rilevata che interessa le intersezioni eterocline tra le varietà stabili e instabili delle orbite periodiche di Lyapunov attorno ai punti lagrangiani L1, L2 ed L3. Mostriamo come tali intersezioni influenzino il flusso di particelle nella regione troiana e proponiamo un meccanismo plausibile di intrappolamento dei corpi in presenza di un processo di migrazione planetaria approssimativamente adiabatico.