A variational integrators approach to second order modeling and identification of linear mechanical systems

The identication of linear second order models of mechanical systems has been object of intensive research and of several papers in the last decades. In this thesis the interest is focused on mechanical systems which can be described by the classical second order vector model defined by the generalized stiffness K, damping D, and inerzia M. All current identication techniques operate in discrete time. Noisy data obtained by sampling the system must be used to stimate the continuous time physical parameters M;K and D. Since identication operates in discrete time one needs to convert the discrete time identied system into a continuous time one. There are structural constraints that need to be imposed to obtain the second order structure. In short, the procedure is composed of three main steps: 1. Discrete-time Identication, mostly using subspace methods, from sampled input-output data; 2. Implementation of a set of constraints which force the dentied system to the form; 3. Conversion from the discrete to a continuous model and conversion of the relative system parameters. The usual procedure assumes that the discrete time identied system is a Zero-Order-Hold (ZOH) discretization of the underlying continuous time system. This assumption may lead to serious numerical problems, since the conversion discrete-to-continuous (d2c) requires the computation of the matrix logarithm of a 2n 2n matrix, which is well-known to be an ill conditioned problem resulting in a serious amplication of the noisy errors in the discrete estimates. The proposed solution to this problem is to introduce a new discretization technique of the equations of motion of a mechanical systems introduced by Veselov, and further developed by J.Marsden and co-workers. This technique has been developed for general mechanical system and leads to discrete systems characterized by a sort of "discrete mechanical structure". Unlike the usual discretization procedures familiar in control, e.g. ZOH, it can lead to linear algebraic transformation formulas for the recovery of the continuous time parameters from the discretized model. In this thesis variational integrators are applied to linear second order mechanical systems and it is shown that physically meaningful properties of the continuous-time model, like passivity, are preserved in the discretization.

L'identicazione di modelli di sistemi meccanici del secondo ordine e stata oggetto di un'intensa attivita di ricerca negli ultimi decenni. In questa tesi ci si focalizza nei sistemi meccanici che si posso descrivere con un modello classic del secondo ordine definito dalle classiche matrici di inerzia generalizzata M, stiffness K e damping D. Tutte le attuali tecniche di identicazione operano a tempo discreto. I dati rumorosi ottenuti dal campionamento del sistema devono essere utilizzati per stimare i parametri sici del sistema a tempo continuo M;K e D. Poiche il processo di identicazione opera a tempo discreto si rende necessaria una conversione del sistema discreto identicato in uno a tempo continuo. Ci sono vincoli strutturali che devono essere imposti per ottenere la struttura del secondo ordine. In breve, la procedure si compone di tre parti principali: 1. Identicazione a tempo discreto, per lo pi metodi a sottospazi, dai dati ingresso-uscita campionati; 2. Implementazione di un set di vincoli che forzi il sistema identicato alla forma; 3. Conversione dal dominio di tempo discreto a quello continuo and conversione dei relativi parametri del sistema. La procedura classica prevede che il sistema identicato a tempo discreto sia ottenuto per discretizzazione di tipo Zero-Order-Hold (ZOH) del sottostante modello continuo. Quest'assunzione porta a gravi problemi di tipo numerico, poiche la conversione dal discreto al continuo (d2c) richiede il calcolo del logaritmo per una matrice 2n 2n. E' noto che tale operazione comporta problemi di malcondizionamento numerico che producono un amplicazione degli errori di stima nel sistema discreto. La soluzione proposta al problema e di introdurre una nuova tecnica di discretizzazione delle equazioni del moto per sistemi meccanici, introdotta da Veselov, e successivamente sviluppata da J.Marden e dai suoi collaboratori. Questa tecnica e stata sviluppata per sistemi meccanici generici e porta a sistemi discreti caratterizzati da una sorta di "struttura meccanica discreta". Diversamente dalle procedure di discretizzazione classiche, familiari nel mondo del controllo, e.g. ZOH, tale metodo porta a una formula di trasformazione algebrica lineare per il recupero dei parametri continui da quelli discreti. Nella tesi gli integratori variazionali sono applicati ai sistemi meccanici lineari del secondo ordine e verra provato che nella discretizzazione vengono preservate proprieta con intrinseco signicato fisico del modello a tempo continuo, ad esempio la passivita.